"반세기 만에 풀렸다"…쌍 소용돌이 난제 수학적 입증

UNIST, 역학적 타당성도 검증

항공기·선박 후류 해석·태풍 연구 도움 기대

[울산=뉴시스] 구미현 기자 = UNIST 연구진. 사진 최규동 교수(좌측)과 심영진 연구원(우측) [email protected] *재판매 및 DB 금지

[울산=뉴시스] 구미현 기자 = 국내 연구진이 사도브스키 패치라는 소용돌이 쌍이 이상적 유체 안에서 존재할 수 있음을 수학적으로 증명해냈다. 이 모델구조가 제안된 지 50여 년 만이다.

울산과학기술원(UNIST)은 수학과 최규동 교수와 심영진 학생이 서울대 정인지 교수와 함께 사도브스키 패치가 오일러방정식의 해로서 존재할 수 있음을 증명했다고 2일 밝혔다.

사도브스키 패치는 서로 반대 방향으로 돌며 회전 세기가 균등한 두 소용돌이가 완전히 맞붙은 채로 움직이는 특수한 소용돌이 쌍이다. 비행기 날개 끝이나 배 뒤에 생기는 소용돌이와 비슷하게 생겼지만, 실제 물이나 공기와는 달리 이상적인 유체를 가정했기 때문에 모양을 유지하며 영원히 직진할 수 있다.
 
1971년 러시아 수학자 사도브스키(V. S. Sadovskii)가 수치 시뮬레이션을 통해 이 모델을 처음 제안했지만, 이 패치의 존재를 수학적으로 증명하는 것은 쉽지 않을 것이라고 논문에서 언급했다.

수학적으로 존재를 증명하는 가장 확실한 방법은 사도브스키 패치의 모양과 운동을 동시에 설명하는 함수, 즉 유체의 운동법칙인 오일러 방정식의 해를 직접 찾아내는 것이다. 하지만 이러한 함수를 실제로 구하는 것은 일반적으로 불가능에 가깝다. 대신 수학자들은 방정식 해의 '존재'를 논리적으로 입증하는데, 이마저도 쉽지 않았다. 두 소용돌이가 대칭축에서 완전히 접촉한 채 끊김 없이 이동해야 하는 특수한 구조 탓이다.

연구진은 변분법을 사용해 이를 새롭게 풀어냈다. 변분법은 특정 조건을 만족하는 여러 가지 가능한 함수 중에서 주어진 값을 최대화 또는 최소화하는 함수를 찾는 방법이다.

연구팀은 먼저 소용돌이 간 간격을 작게 설정하고 소용돌이 회전 세기에 상한을 두는 조건을 걸어둔 뒤, 그 안에서 운동에너지가 가장 큰 값을 갖는 소용돌이 쌍을 찾아냈다. 이렇게 얻어진 최대 에너지 소용돌이 쌍의 구조를 단계적으로 분석한 결과, 그 모양이 사도브스키가 제안한 패치의 형태임을 증명했다.

[울산=뉴시스] 구미현 기자 = UNIST 연구팀이 사용한 변분법 기반 증명 방법  [email protected] *재판매 및 DB 금지

최규동 교수는 "사도브스키 패치의 수학적 존재성을 입증하는 연구를 북경대 황퉁 (Huang-Tong) 교수팀과 경쟁해 왔는데, 황 퉁 교수팀의 연구와 달리 이번 연구에서는 사도브스키 패치의 수학적 존재성뿐만 아니라 역학적 타당성, 즉 물리적 안정성도 검증해 낸 것이 차별점"이라고 설명했다.

물리적으로 안정적이라는 것은 패치의 존재가 논리적으로도 모순이 없을 뿐만 아니라 실제로 관찰 가능한 수준으로 지속될 수 있다는 의미다.

연구팀은 이번 성과가 난류 연구, 항공기와 선박의 후류 해석, 후지와라 효과와 같은 대기·해양 소용돌이 간의 상호작용 연구 분야에서 유체역학적 이해의 토대를 넓힌 의미를 갖는다고 덧붙였다. 후지와라 효과는 두 개 이상의 태풍이 인접할 때 나타나는 간섭 현상으로, 일본 기상학자 후지와라 사쿠헤이가 1921년 제시했다.

연구 결과는 수학 분야 최상위 저널 중 하나인 편미분방정식연보(Annals of PDE)의 하반기 호인 12월 호에 실렸다. 연구 수행은 과학기술정보통신부 한국연구재단의 지원을 받아 이뤄졌다.


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